正如你所知，并非所有数字的算术平方根都是整数。
有些数字是整数。例如，我们都知道100的算术平方根是一个整数10：
例如，256的算术平方根为16：
但更多情况下，平方的结果不是整数。例如
显然，没有整数的平方是11。如果你把11平方，你会得到一个小数，一个无限的非循环小数，或者无理数。
如果你手头有计算器，计算平方很容易。你一定听说过古希腊著名数学家阿基米德。在研究曲线问题时，他经常遇到手工计算平方的问题。如果我只给你纸和笔，手动估算11的算术平方根，我该怎么办？答案只有一个词：猜猜！
以数字11为例。我们知道11的平方的结果必须在3和4之间，因为3的平方是9，4的平方是16：
如果范围较大，请猜一个在此范围内的数字，例如3.5，
这种计算可以在纸上进行，甚至可以口头进行。此时，12.25>；所以你的猜测太大了。
由于3.5太大，我们将把范围缩小到3到3.5之间，并在这个范围内继续精确计算。例如，我们可以猜测3.3：
你认为每一个猜测都会帮助我们进一步缩小范围，进一步完善它吗。显然，3.3的平方结果比11的平方结果小一些，但接近很多。如果我们需要更精确，我们应该继续这样计算。接下来，我将尝试找到一个介于3.3~3.5之间的数字。
可以看出：
根据上述方法，精度将越来越高，但计算复杂度将越来越高。计算小数点后一位数的平方很容易，但如果小数点后有10位数，你可以尝试在纸上计算（阿基米德不容易）[dizzy]
你有没有注意到，当我们猜上面的数字时，我们会根据自己的喜好或感觉在一定范围内任意选择一个数字。有更好的办法吗？
例如，当我们把3.3~3.5的范围圈起来时，如何选择这个数字？让我们将平均值设为3.3和3.5，也就是说，选定的数字为
这种选择方法可以使我们更快地逼近，更有效地缩小数值范围。
如果这个结果需要高精度，我们需要重复的回合就越多。
例如，以计算机模拟为例。按上述过程计算五轮时，11平方的结果为3.34375。如果提高精度，则10轮的结果为3.3173828125，而如果计算20轮，则结果为3.3166246418457。我想知道是否有人有耐心在纸上计算3.3166246418457的平方。