三角形三边关系公式(“三角形三边关系”求最值的模型图理解透彻)

 小嘟共享充电宝   2022-05-27 22:17   723 views 人阅读  0 条评论
摘要:

三角形的三边关系定理在三角形中,任意两条边之和大于第三条边,任意两条边之差小于第三条边。这个定理很简单,常用来求线段和差的最大值。一般来说有两种思路:(1)求两条线

  三角形的三边关系定理

  在三角形中,任意两条边之和大于第三条边,任意两条边之差小于第三条边。

  这个定理很简单,常用来求线段和差的最大值。一般来说有两种思路:(1)求两条线段的最小和,用两边之和大于第三边来解题。(2)求两条线段的最大差值,用两边之差小于第三边来解题。

  以上两种思路最后利用三角形三个顶点的“共线性”得到答案,答案等于第三条边。模型图如下。

  在实际操作中,要注意三点共线时P点的位置特征。求两条边之和的最小值,第三条边应该是较长的一边,点p在第三条边的线段上(p在交流线段上)。最大化两边之差,第三边应该是较小的一边,点p在第三边的延长线上(p在AB线段的延长线上)。当三角形的边不符合上述规则时,通常需要做一定的等价变换。

  中考真题

  (2019陕西中考闭卷题)如图所示,在正方形ABCD中,AB=8,AC和BD相交于O点,N为AO的中点,M点在BC的边上,BM=6,p为对角线BD上的一点,则PM-PN的最大值为__________________________________________________________________________________________

  求两边之差的最大值,马上想到用三角形两边之差小于第三边的定理,试求两边之差等于第三边(三点共线时),然后求最大值。但在上面的问题中,如果你总是纠结于NPM,求PM-PN的最大值,那你就走进死胡同了,因为在p的运动过程中,PM-PN总是小于MP,NPM在三点共线时,其实就是PMPN的最小值。

  这是除了上面提到的两个方面的区别之外的第三个方面。它应该是三角形中较小的一边,但不是最大的一边。显然,NPM的第三边NM不是一个小边。因此,需要在这里进行变换,找到一个合适的三角形,使第三条边是较小的边。

  所以PME就是我们要用的三角形,最后符合条件的P在ME线段的延长线上。在PME,ME不可能是最长的边,也就是属于我们的短边,在P点的整个运动过程中。

  无论是最大和还是最大差,这类题还有一个特点,就是最大实际上等于第三条边,对应的是图形,这个第三条边在动点期间保持不变。所以问题的关键是找到一个合适的三角形来运用三边差定理。

  思路发展

  如果上面的问题讲的是E点是OC的中点,求PMPE的最大值,那么N点(一般的饮马思路)就要作为辅助线来找更长的一边。

  摘要

  食谱:求三角形两边的最大值,三个共线性点刚好,求长边求和,求短边求差。

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